где f'(х₀) — первая производная f(х) в точке х₀, f'' — вторая производная, f⁽ⁿ⁾ — n-ая производная функции f(х) в точке х₀. Разложение в ряд Тейлора позволяет находить значения функции в точке х, если известно ее локальное поведение вблизи точки х₀ (т. е. известны значение функции f(х) в х₀ и ее производные). Этот ряд — есть разложение по параметру х — х₀. Если этот параметр мал (т. е. отклонение х от х₀ невелико), то каждый член ряда мал по сравнению с предыдущим и для вычисления f(х) можно ограничиться небольшим количеством членов ряда.

Пример: ряд Тейлора для функции sin (х) вблизи точки х = 0 имеет вид sin (х) = х — х³/6 + х⁵/120 — … Вычислим с помощью этого ряда sin (30°) = sin (π/6) = 1/2. Нулевое приближение дает sin (π/6)_пр = 0 (функция взята в точке х = х₀). Это нас, естественно, не удовлетворяет, нам нужна первая неисчезающая поправка к значению равному нулю. В первом приближении, учитывая первое слагаемое ряда, имеем sin (π/6)_пр= л/6 = 0.5236…, что уже гораздо лучше. Если же мы учтем второе кубическое слагаемое, то получим sin (π/6)_пр= π/6 — (π/6)³/6 = 0.4997…