Подмножество ? соотношений, к которому Гильберт применяет свою теорему (А), само является идеалом, и тем самым идеал {F₁, ..., F_h}, т.е. множество всех элементов вида (1), где Q_iIk[z₁, ..., z_m], не только содержит ?, но и совпадает с ?, Однако доказательство применимо и в случае, когда ? не является идеалом, и даёт одновременно порождающий идеал {?} для ? и устанавливает конечность его базиса, {?} = {F₁, ..., F_h}.

Построение полного набора соотношений F₁, ..., F_h окончательно определило бы алгебраическую структуру кольца инвариантов, если бы оказалось, что любое соотношение представляется в виде (1) только одним способом. Но, так как это, вообще говоря, неверно, нам приходится рассматривать «полиномиальные векторы» M= (M₁ ..., M_h), для которых M₁F₁ + ... + M_hF_h тождественно равно нулю (первые сизигии). Эти линейные соотношения M между многочленами F₁ ..., F_h снова образуют идеал, к которому применима теорема (А). Получаемый таким образом базис M определяет вторые сизигии. К двум первым основным теоремам Гильберт добавляет третью, утверждающую, что можно так выбирать сизигии, что их последовательность обрывается не более чем через m шагов.