)

·

(

a' p

)

=

(

aa' p

)

.

Действительно, p вычетов по mod p, в качестве представителей которых можно взять числа 0, 1, ..., p–1, образуют поле, а ненулевые элементы этого поля образуют группу, в которой квадратичные вычеты составляют подгруппу индекса 2. Пусть K = Q(vb) — квадратичное поле, которое получается из поля рациональных чисел Q присоединением квадратного корня из рационального числа b. Целое число ??0 Гильберт называет p-адической нормой в K, если по модулю любой степени p оно сравнимо с нормой некоторого целого числа в K. Он полагает