имеет p-адическое решение x = x_p, y = y_p; норменный символ (a_p, K) равен +1 или –1 в соответствии с тем, является ли a_p p-адической нормой в K или нет».

p-адические числа образуют поле Q(p), а p-адические нормы составляют в его мультипликативной группе G_p ненулевых чисел подгруппу индекса 1 или 2. Цикличность факторгруппы является существенным обстоятельством. Легко видеть, что p-адические квадраты образуют подгруппу G_p² индекса 4, если p ? 2, и 8, если p = 2, а факторгруппа G_p/G_p² не является циклической и, следовательно, не может быть описана одним-единственным характером. Разумеется, каждый p-адический квадрат является p-адической нормой в K. Оба шага, замена квадратов K-нормами и переход от модуля p к произвольно большим степеням p, из которых первый позволяет ослабить, а второй усилить условие Гаусса для квадратичного вычета, одинаково существенны для успеха введённого Гильбертом определения.