Конечные простые точки — это простые идеалы B поля k. При изучении полей Галуа K/k степени n мы вначале исключаем из рассмотрения разветвлённые идеалы p, входящие в относительный дискриминант поля K/k. Каждый неразветвлённый идеал p поля k распадается в K на некоторое число q различных простых идеалов B₁, ..., B_q относительной степени f , при этом fq = n. Легко видеть, что p-адическое число ?_p ? 0 является p-адической нормой в K тогда и только тогда, когда его порядок (в p) кратен f . В частности, p-адические единицы являются нормами. Таким образом, мы оказываемся в значительно более простой ситуации, чем при определении гауссова символа квадратичного вычета: норменный характер числа ?_p зависит только от порядка i этого числа в точке p. Теперь ясно, как надо поступать: мы выбираем первообразный корень f -й степени из единицы ? и полагаем (?_p, K) = ?ⁱ, если порядок ?_p равен i. Построенная функция от ?_p является характером и принимает значение 1 на нормах и только на них. Но здесь возникает загвоздка: не существует никакого алгебраического свойства, позволяющего отличать друг от друга несколько первообразных корней f -й степени из единицы. Тем самым, мы имеем произвол в выборе ?. С этим ещё можно было бы смириться, если бы мы имели дело только с одним простым идеалом. Но когда нужно принимать во внимание все простые идеалы, образовывая произведения типа (4), эта неопределённость, казалось бы, уничтожает все надежды на получение простого закона взаимности типа (5). Я не буду описывать тех ухищрений, с помощью которых Эйзенштейну, Куммеру и Гильберту удалось выйти из этого трудного положения. Намного лучшее решение было найдено Артином. Если поле K/k абелево, то для K и p однозначно определена подстановка Фробениуса K/p, которая является элементом порядка f группы Галуа ? расширения K/k. Пусть этот элемент и явится заменой ? в нашем окончательном определении p-адического норменного символа: