(?p, K) =
K
?
(
?, K p
?
K
)
= (?, K),
?
K
p
p
распространённое по всем конечным и бесконечным (вещественным) простым точкам p, и сформулировать закон взаимности, утверждающий, что (?, K) = 1 для любого главного иделя ?. Всё это было бы хорошо, если бы мы только не исключили в нашем определении (?p, K) некоторых специальных p, а именно бесконечных точек и разветвлённых простых идеалов. В одном специальном случае с помощью чрезвычайно сложных вычислений Куммеру удалось дать правильное определение (?p, K) для исключительных p. Четвёртое открытие Гильберта состоит в изобретении простого и остроумного приёма, позволившего преодолеть это трудное препятствие, ставшее на пути дальнейшего прогресса. Ограничимся вначале иделями, являющимися n-ми степенями в наших исключительных точках. Другими словами, предположим, что уравнение ?p = ?pn разрешимо для p-адических значений ?p иделя ? для этого конечного числа точек. В этом случае определить (?, K) не представляет никакого труда:
?
K
?
K