11. Schnirelmann L. G. Über additive Eigenschaften von Zahlen // Mathematische Annalen. 1933. Vol. 107. S. 649–690.

12. Шнирельман Л. Г. Об аддитивных свойствах чисел // Успехи математических наук. – 1939. – Т. 6. – С. 9–25.

13. Ramaré O. On Schnirelmann's constant // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie IV. 1995. Vol. 22. № 4. P. 645–706.

14. Helfgott H. A. The ternary Goldbach conjecture is true // arxiv.org/abs/1312.7748 (Submitted on 30 Dec 2013, last revised 17 Jan 2014).

О понятиях 'множество', 'кортеж', 'соответствие', 'функция', 'отношение'

О понятиях 'множество', 'кортеж', 'соответствие', 'функция', 'отношение'

Понятия множества и кортежа трактуются в данной статье как первичные, неопределяемые. Понятия же соответствия, функции и отношения определяются в ней через понятия множества и кортежа[112].

Множество

Множество

Понятие множества является не только первым, но и самым главным из перечисленных понятий. Заметим сразу же, что рассматриваемые в традиционной комбинаторике так называемые сочетания суть не что иное, как конечные множества.

Вот что говорит о понятии множества и о самом термине «множество» выдающийся отечественный математик П. С. Александров:

На каждом шагу нам приходится сталкиваться с тем трудно определимым понятием, которое выражается словом «совокупность». Например, можно говорить о совокупности людей, присутствующих в данный момент в данной комнате, о совокупности гусей, плавающих на пруду, зайцев, живущих в лесах Московской области, и т. п. В каждом из этих случаев можно было бы вместо слова «совокупность» употребить слово «множество»[113].

На каждом шагу нам приходится сталкиваться с тем трудно определимым понятием, которое выражается словом «совокупность». Например, можно говорить о совокупности людей, присутствующих в данный момент в данной комнате, о совокупности гусей, плавающих на пруду, зайцев, живущих в лесах Московской области, и т. п.

В каждом из этих случаев можно было бы вместо слова «совокупность» употребить слово «множество»[113].

А вот что пишет учитель П. С. Александрова, не менее выдающийся математик Н. Н. Лузин:

Что такое множество? Мы не станем доискиваться ответа на этот вопрос, потому что понятие множества является столь первоначальным, что затруднительно, по крайней мере на сегодняшний день, определить его при помощи более простых понятий. Читателя это обстоятельство не должно удивлять. Действительно, когда некоторое понятие P определяется при помощи более простого понятия D, то само это понятие D также нуждается в определении посредством более простого понятия C, а оно, в свою очередь, нуждается в определении посредством ещё более простого понятия B и т. д. Таким образом, в конце концов мы должны будем прийти к столь первоначальному понятию А, которое не удаётся определить с помощью более простых понятий; всё, что можно здесь сделать, – это только разъяснить на ряде примеров смысл такого понятия А. Итак, мы не станем искать определения слова «множество». Можно, разумеется, было бы сказать, что множество есть «собрание», «коллекция», «класс», «система», «семейство», «комплекс», «ансамбль» и т. д. Но такая замена одного слова другим никогда не может дать самоё идею множества тому, кто раньше не приобрёл её каким-нибудь образом. Поэтому мы предпочитаем обратиться к примерам, разъясняющим смысл слова «множество». Понимая под этим словом совокупность, составленную из каких-нибудь предметов, мы можем говорить о множестве всех букв на данной странице, о множестве всех атомов серебра в данной монете, о множестве всех корней данного уравнения, о множестве всех положительных чисел, о множестве всех многочленов, о множестве всех непрерывных функций, о множестве всех точек на данной окружности, о множестве всех углов, имеющих иррациональное значение синуса, и т. д. Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами[114].