Второй подход состоит в истолковании функции как закона, но также связанного с понятием переменной величины (и с разделением переменных величин на «зависимые» и «независимые»): «Закон (правило), по которому значениям независимых переменных отвечают (соответствуют) значения рассматриваемой зависимой переменной, называется функцией»[124].

Приведённые формулировки нельзя, конечно, считать отчётливыми. Для их уточнения требуется предварительное создание достаточно нерасплывчатой системы представлений о переменных величинах. Создание такой системы если и возможно, то, по-видимому, лишь на основе использования в качестве исходных таких понятий, как 'величина' и 'изменение во времени'[125], т. е. вне рамок теоретико-множественной концепции.

Второе направление. Принципиально иной путь связан с отказом от переменных величин. Он приводит к более широкому понятию функции, поскольку разрешает рассматривать функции не только от «величин» (заметим вскользь, что попытки уточнить, что такое «величина вообще», приводят к значительным трудностям). В рамках этого второго направления можно опять-таки различить несколько подходов, а точнее, по меньшей мере три. Первый подход определяет не самоё функцию, а лишь, так сказать, «функциональную ситуацию», т. е. ситуацию, при которой разрешено говорить, что имеет место функция; второй подход трактует функцию как правило или закон, третий – как соответствие.

Первый подход характерен для руководств по теории множеств и общей теории функций. Вот, например, что говорит о функции П. С. Александров в уже цитировавшейся нами книге[126]:

Если каким-нибудь образом каждому элементу x некоторого множества X поставлен в соответствие определённый элемент y некоторого множества Y, то мы пишем f: X → Y и говорим, что имеется отображение множества X во множество Y или функция f, аргумент которой пробегает множество X, а значения принадлежат множеству Y.

Если каким-нибудь образом каждому элементу x некоторого множества X поставлен в соответствие определённый элемент y некоторого множества Y, то мы пишем f: X → Y и говорим, что имеется отображение множества X во множество Y или функция f, аргумент которой пробегает множество X, а значения принадлежат множеству Y.