Что же касается математики, то её истины более незыблемы, чем истины медицины или химии, и в математике неполная индукция не работает.

Вернёмся, однако, к теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними. Что же с нею делать? Перед нами выбор: или пытаться доказывать её, опираясь на ранее доказанные утверждения, или объявить её аксиомой, т. е. утверждением, не нуждающимся в доказательстве. Если раньше читатель был вправе недоумевать, то теперь он вправе возмутиться. Что значит «объявить аксиомой»? Разве это в нашей власти? Да, в значительной степени в нашей власти, и чуть позже мы попытаемся это объяснить. Если же мы будем доказывать нашу теорему с помощью других, ранее доказанных теорем, а те, другие, теоремы – с помощью третьих и т. д., то ведь всё равно этот процесс не может продолжаться бесконечно. Значит, где-то придётся остановиться, т. е. уже не доказывать какие-то предложения, а принять их за аксиомы.

§ 2. Аксиомы Евклида

§ 2. Аксиомы Евклида

Необходимость аксиом была осознана ещё древними греками. Самое знаменитое сочинение мировой математики – написанный в III в. до н. э. древнегреческим математиком Евклидом и охватывающий всю современную ему математику трактат «Начала» – начинается так. Сперва идут определения, а сразу вслед за ними – аксиомы. Аксиомы у Евклида разбиты на два списка. Первый список состоит из пяти предложений, второй – из девяти. Лишь аксиомы второго списка названы в русском переводе трактата аксиомами, аксиомы же первого списка названы постулатами. Говоря о древних текстах, всегда надо точно указывать издание; вот издание, на которое мы здесь ссылаемся: Начала Евклида / Пер. с греч. Д. Д. Мордухай-Болтовского. Книги I–VI. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. Приведём полностью постулаты и аксиомы из этого издания. Слова в квадратных скобках добавлены нами для ясности.

Постулаты Допустим: 1. Что из всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию. 2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. 3. И что из всякого центра и всяким раствором [циркуля] может быть описан круг. 4. И что все прямые углы равны между собой. 5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, [в сумме] меньшие двух прямых [углов], то, неограниченно продолженные, эти прямые встретятся с той стороны, где [внутренние] углы [в сумме] меньше двух прямых [углов].

Постулаты

Допустим:

1. Что из всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.