При наглядном способе понятие усваивается на примерах, при дефиниционном – с помощью определений. Скажем, усвоение понятий 'стол' и 'корова' происходит на основе того, что человеку показывают достаточное количество столов и коров. Таким же наглядным способом могут усваиваться и понятия, выражающие свойства, такие, например, как 'металлический' или 'фиолетовый': для этого нужно предъявить достаточное количество металлических предметов и предметов фиолетовой окраски. Аналогичным образом человек обучается понятиям, выражающим положение в пространстве одних предметов относительно других, таких как 'слева от', 'справа от', 'спереди', 'сзади', 'над', 'под', 'на', 'в', 'между' и т. п.

А вот представление о понятиях «металлический стол» или «фиолетовая корова» можно получить и не прибегая к примерам (в случае «фиолетовой коровы» это было бы и затруднительно). Здесь годится способ дефиниционный. Понятия 'металлический стол' и 'фиолетовая корова' можно не показать, а определить: металлический стол – это такой стол, который является металлическим; фиолетовая корова – это такая корова, которая является фиолетовой.

Наглядным способом осуществляется и первое знакомство с такими математическими понятиями, как, скажем, «шар» или «прямая». Однако здесь надо проявить осторожность и понимать, что арбуз в меньшей степени шар, чем волейбольный мяч, а мяч – в меньшей степени шар, чем бильярдный шар или шарик подшипника, ведь, строго говоря, геометрических шаров в природе не бывает, а бывают лишь предметы, приближающиеся по форме к геометрическому шару. С прямыми дело обстоит ещё сложнее: ведь прямая бесконечна, а все примеры, которые мы можем предъявить, будь то линия, начерченная на песке или бумаге, или натянутая нить, или граница между стеной и потолком, – все они демонстрируют нам (опять-таки, разумеется, приблизительно) лишь ограниченные, конечные участки прямых линий, т. е. то, что на языке современной геометрии называется отрезками. Отметим, что в трактате Евклида термин «прямая» обозначает не всю бесконечную прямую линию, а именно отрезок. Представление о бесконечности было, по-видимому, чуждо античной математике, да и всему античному мировоззрению. Представление о бесконечном следует отличать от представления о неограниченно продолжаемом; для ясности бесконечное часто называют в этом противопоставлении актуально бесконечным, а неограниченно продолжаемое – потенциально бесконечным. Разумеется, древние понимали, что, сколько раз ни откладывай отрезок в одну и ту же сторону, его можно будет отложить в ту же сторону ещё раз – это и есть пример неограниченной продолжаемости (она же потенциальная бесконечность). Актуальная же бесконечность в данном случае означает разрешение рассматривать всю прямую целиком, т. е. как объект, который возникнет после завершённого (а в реальности ни в какой момент не завершающегося!) процесса прикладывания отрезков друг к другу[136].