Некоторые из аксиом (например, восьмая) не используются Евклидом в его последующем изложении.
Напротив, изложение Евклида опирается на многие положения, не входящие в списки постулатов и аксиом. Так, бросается в глаза, что в эти списки не входят аксиомы стереометрии, хотя теоремы стереометрии в трактате Евклида имеются. Но даже если ограничиться теоремами планиметрии, то выясняется, что в их доказательствах Евклид часто опирается не только на аксиомы, но и на непосредственную геометрическую наглядность. Например, в аксиомах Евклида ничего не говорится о таких важных геометрических понятиях, как «располагаться между», 'располагаться по одну сторону' и т. п., хотя использование этих понятий необходимо при доказательстве многих теорем.
Некоторые формулировки при внимательном анализе оказываются неполными или непонятными. Но, может быть, всё дело в том, что мы пока ничего не сказали об определениях Евклида? Может быть, если принять во внимание определения, формулировки станут полными и понятными? Обратимся к определениям.
Как мы отметили ранее, трактат Евклида начинается с определений. Вот некоторые из них (мы сохраняем нумерацию источника).
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия же – длина без ширины.
3. Прямая линия есть та, которая равно расположена к точкам на ней.
4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
5. Плоская же поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней.
С современной точки зрения, это всё не
Впрочем, у Евклида встречаются и такие формулировки, которые следует признать определениями и с современной точки зрения. Таково, например, его десятое определение, в котором определяются понятия 'прямой угол' и 'перпендикуляр':