Итак, для того, чтобы получить представление о бесконечной прямой, одного только наглядного способа недостаточно – требуется ещё воображение. От зарождения геометрии прошли тысячелетия, пока люди осознали, что мы не можем непосредственно наблюдать точки, прямые, плоскости, углы, шары и прочие геометрические объекты, и потому предметом геометрии служит не реальный мир, а мир воображаемый, который населён этими идеальными геометрическими объектами и который всего лишь похож на мир реальный (как говорят философы, является отражением реального мира).

Таким образом, к геометрическим понятиям наглядный способ применим лишь с оговорками. Посмотрим, как работает дефиниционный способ. Возьмём для примера понятие угла. Можно объяснять это понятие, демонстрируя конкретные углы, т. е. применяя наглядный способ. А можно воспользоваться способом дефиниционным, т. е. попытаться определить, что такое угол. Вот определение: угол есть совокупность (другими словами, множество) двух лучей, исходящих из одной и той же точки О. Но тогда надо знать, что такое 'луч, исходящий из точки О'. Это понятие, в свою очередь, определяется как множество, состоящее из самой этой точки О и всех точек, расположенных по одну и ту же сторону от этой точки. Но что значит, что две точки лежат 'по одну и ту же сторону' от точки O? Это значит, что эти две точки и точка О лежат на одной и той же прямой, причём так, что точка О не находится между этими двумя точками. Но тогда мы должны сперва установить, что означает, что точки 'лежат' на прямой и одна точка находится 'между' двумя другими.

Итак, при дефиниционном способе одни понятия определяются через другие, другие – через третьи и т. д. Но ведь мы не можем продолжать этот процесс бесконечно. А значит, на каких-то геометрических понятиях мы вынуждены остановиться и далее их не определять. Эти понятия, которые уже не имеют определения, называют неопределяемыми, или исходными. Но если исходные понятия не могут быть определены, то, спрашивается, откуда же мы можем знать, что они означают? Казалось бы, ответ очевиден: мы должны использовать наглядный способ и познать эти понятия из непосредственного опыта, иными словами, усвоить их на примерах. Однако несколькими строками выше было отмечено, что примеры хотя и подводят нас к представлению о том или ином геометрическом понятии, но лишь до некоторой степени. А математика – наука точная, приблизительность ей не к лицу, и математик должен совершенно точно знать, каким именно понятием он оперирует. Вроде бы возник тупик. Аксиоматический метод как раз и предлагает выход из этого тупика.