Пример 8. Докажите, что если прямая не проходит ни через одну из вершин треугольника, то она не может пересекать все его стороны.

Решение: Прямая делит плоскость на две полуплоскости. А вершин три. По принципу Дирихле отыщется полуплоскость, в которой находятся по меньшей мере две вершины треугольника, причём, по предположению, обе располагаются внутри полуплоскости, а не на её границе, т. е. не на исходной прямой. Сторона, соединяющая эти вершины, не пересекает указанную прямую.

Пример 9. По условиям шахматного турнира каждый участник должен сыграть с каждым другим одну партию. Докажите, что в любой момент турнира найдутся два шахматиста, сыгравшие к этому моменту одинаковое число партий.

Решение. Пусть всего в турнире участвует n шахматистов. Не будем их беспокоить и заменим каждого игрока карточкой с его именем. Каждый игрок мог сыграть от 0 до n – 1 партий, так что для каждого игрока имеется n вариантов. Приготовим столько ящиков, сколько есть вариантов, и пронумеруем их от 0 до n – 1. В ящик с номером k положим карточки с именами тех игроков, которые к данному моменту сыграли k партий. Наша задача – доказать, что хотя бы в одном ящике лежит не менее двух карточек.

Возможны два случая.

Первый случай: каждый игрок сыграл хотя бы одну партию. Тогда ящик № 0 пустой и для размещения n карточек остаётся n – 1 ящиков с номерами от 1 до n – 1.

Второй случай: есть игрок, не сыгравший ни одной партии. Его карточка попадает в ящик № 0, но зато ящик № n – 1 оказывается пустым, потому что нет игрока, сыгравшего со всеми другими игроками; для размещения n карточек остаётся n – 1 ящиков с номерами от 0 до n – 2.