Пример 7. В самолёте летит 380 пассажиров. Доказать, что какие-то два из них отмечают свой день рождения в один и тот же день года.

Рассуждаем так. Всего имеется 366 (включая 29 февраля) возможных дат для празднования дня рождения. А пассажиров больше; значит, не может быть, чтобы у всех у них дни рождения приходились на различные даты, и непременно должно быть так, что какая-то дата является общей по крайней мере для двух человек. Ясно, что этот эффект будет обязательно наблюдаться, начиная с числа пассажиров, равного 367. А вот если это число равно 366, не исключено, что числа и месяцы их дней рождения будут для всех различны, хотя это и чрезвычайно маловероятно. (Кстати, теория вероятностей учит, что если случайно выбранная группа людей состоит более чем из 22 человек, то более вероятно, что у кого-нибудь из них дни рождения будут совпадать, нежели что у всех у них дни рождения приходятся на разные дни года.)

Логический прием, применённый нами в примере 7, носит название принцип Дирихлé – по имени знаменитого немецкого математика XIX в. Петера Густава Лежёна Дирихлé. Вот общая формулировка этого принципа:

Если имеется n ящиков, в которых находится в общей сложности по меньшей мере n + 1 предметов, то непременно найдётся ящик, в котором лежат по меньшей мере два предмета.

Если имеется n ящиков, в которых находится в общей сложности по меньшей мере n + 1 предметов, то непременно найдётся ящик, в котором лежат по меньшей мере два предмета.

Чтобы увидеть, как приведённая формулировка используется в примере 7, надо мысленно представить себе 366 ящиков и надписать на каждом одну из 366 дат года, а затем мысленно же разместить по ящикам 380 пассажиров, помещая каждого пассажира в ящик с соответствующей этому пассажиру датой (всё делается только мысленно, так что никакой дискомфорт пассажирам не грозит). Тогда в каком-то из ящиков окажется более одного пассажира, и у этих пассажиров будет общий день рождения.

Пример 8. Докажите, что если прямая не проходит ни через одну из вершин треугольника, то она не может пересекать все его стороны. Решение: Прямая делит плоскость на две полуплоскости. А вершин три. По принципу Дирихле отыщется полуплоскость, в которой находятся по меньшей мере две вершины треугольника, причём, по предположению, обе располагаются внутри полуплоскости, а не на её границе, т. е. не на исходной прямой. Сторона, соединяющая эти вершины, не пересекает указанную прямую. Пример 9. По условиям шахматного турнира каждый участник должен сыграть с каждым другим одну партию. Докажите, что в любой момент турнира найдутся два шахматиста, сыгравшие к этому моменту одинаковое число партий. Решение. Пусть всего в турнире участвует n шахматистов. Не будем их беспокоить и заменим каждого игрока карточкой с его именем. Каждый игрок мог сыграть от 0 до n – 1 партий, так что для каждого игрока имеется n вариантов. Приготовим столько ящиков, сколько есть вариантов, и пронумеруем их от 0 до n – 1. В ящик с номером k положим карточки с именами тех игроков, которые к данному моменту сыграли k партий. Наша задача – доказать, что хотя бы в одном ящике лежит не менее двух карточек. Возможны два случая. Первый случай: каждый игрок сыграл хотя бы одну партию. Тогда ящик № 0 пустой и для размещения n карточек остаётся n – 1 ящиков с номерами от 1 до n – 1. Второй случай: есть игрок, не сыгравший ни одной партии. Его карточка попадает в ящик № 0, но зато ящик № n – 1 оказывается пустым, потому что нет игрока, сыгравшего со всеми другими игроками; для размещения n карточек остаётся n – 1 ящиков с номерами от 0 до n – 2. В обоих случаях число ящиков, в которые могут попасть карточки, меньше числа карточек, и по принципу Дирихле в одном из ящиков непременно окажется две карточки.