Пример 10. Этот пример встречается и в «Началах» Евклида, и в современных школьных учебниках. Пусть дан треугольник и два его неравных угла. Требуется доказать утверждение A: против большего угла лежит бóльшая сторона.

Делаем противоположное предположение B: сторона, лежащая в нашем треугольнике против большего угла, меньше или равна стороне, лежащей против меньшего угла. Предположение B вступает в противоречие с ранее доказанной теоремой о том, что в любом треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а если стороны неравны, то против большей стороны лежит больший угол. Значит, предположение B неверно, а верно утверждение А. Интересно, что прямое (т. е. не «от противного») доказательство теоремы A оказывается намного более сложным.

Пример 11. Иррациональность квадратного корня из двух. Арифметическое доказательство. Обозначим этот корень буквой r и начнём рассуждать от противного. Итак, число r рационально и таково, что r² = 2. Всякое рациональное число выражается дробью. Все выражающие число r дроби равны друг другу. Среди них найдётся несократимая дробь – доказательство этого простого факта составляет предмет примера 15. Пусть эта дробь есть m/n. Следовательно,

(m/n)² = 2.