Пример 12. Доказать, что уравнение x³ + x + 1 = 0 не имеет решений в рациональных числах.

Рассуждаем от противного. Предположим, что наше уравнение имеет рациональный корень. Запишем его в виде несократимой дроби p/q. Итак, p³/q³ + p/q + 1 = 0. Умножая обе части на q³, получаем равенство p³ + pq² + q³ = 0. Замечаем, что если хотя бы одно из чисел p и q нечётно, то нечётно и выражение p³ + pq³ + q³. Но этого не может быть, потому что оно равно нолю, а ноль – число чётное. Значит, числа p и q оба чётные, но этого тоже не может быть, потому что дробь p/q несократима.