Разумеется, любой из этих рядов не есть Натуральный Ряд (который состоит из абстрактных количественных категорий и не может быть изображён), а есть всего лишь ряд имён, обозначений для его членов, т. е. для натуральных чисел. Вместе с тем каждый из этих рядов имён может рассматриваться как один из натуральных рядов с маленькой буквы.

Ситуация с Натуральным Рядом имеет универсальный характер. Аналогичным образом обстоит, например, дело с тем трёхмерным евклидовым пространством, в котором мы живём. Отвлечёмся от того, что мы, скорее всего, живём в неевклидовом пространстве, да и вообще живём в пространстве не математическом, а физическом[152], а это разные вещи. Вообразим, отвлекаясь от реальности, что мы живём в совершенно конкретном трёхмерном Евклидовом Пространстве (мы опять употребляем прописные буквы, чтобы подчеркнуть уникальность этого пространства). Конечно, его нельзя определить никаким числом аксиом, а можно только «указать пальцем». С другой стороны, существуют многочисленные системы аксиом (наиболее известная из них принадлежит Гильберту [3]), определяющих это пространство «с точностью до изоморфизма». Взятое в кавычки выражение означает, что система аксиом определяет целый класс изоморфных между собой пространств, а наше «реальное» Евклидово Пространство – одно из них.

Вообще, никакая система математических аксиом никогда не определяет какую-либо структуру однозначным образом, в лучшем случае – с точностью до изоморфизма. (Мы говорим «в лучшем случае», поскольку бывают и весьма важные системы аксиом, определяющие класс неизоморфных структур. Например, аксиомы теории групп определяют математические структуры, называемые группами, но не все они изоморфны между собой.)

Подведём итоги. Определить аксиоматически Натуральный Ряд невозможно. Можно пытаться определить аксиоматически понятие натурального ряда, т. е. понятие произвольной структуры, изоморфной Натуральному Ряду. Обсуждению этих попыток мы посвящаем наше следующее размышление.

4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (со строчной буквы)?

4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (со строчной буквы)?

Итак, приступим к попыткам определить аксиоматически понятие натурального ряда – структуры, изоморфной Натуральному Ряду. Как только произносится слово «изоморфизм», тем самым предполагается, что указано, какие отношения и операции должны сохраняться при этом изоморфизме. Следовательно, мы должны прежде всего точно указать, какие отношения и операции мы желаем рассматривать на Натуральном Ряду и изоморфных ему натуральных рядах. В число этих операций могут быть включены нольместные операции (т. е. индивидные константы; например, индивидную константу «ноль» можно рассматривать как нольместную операцию) и одноместные отношения (т. е. свойства). Указание этих выделенных операций и отношений в значительной мере произвольно. Например, можно рассматривать Натуральный Ряд (а значит, и любой изоморфный ему натуральный ряд): 1) как структуру лишь с отношением порядка «<», или 2) как структуру с выделенным элементом «ноль» и операцией «переход к следующему», или 3) как структуру, в которой помимо уже названных отношений и операций выделены ещё операции сложения и умножения.