7. Можно ли сделать математику понятной?

Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал её настолько ясной, что берёшься изложить её содержание первому встречному.

Почему математика непонятна столь многим? Эта проблема волновала великого Пуанкаре. Вот что он писал в своём известном трактате «Наука и метод»: «Чем объяснить, что многие умы отказываются понимать математику? Не парадоксально ли это? В самом деле… здесь имеется проблема, которая не легко решается, но которая должна занимать всех, желающих посвятить себя делу преподавания» [2, с. 353].

Скорее всего, «виноваты» обе стороны. Виноваты нематематики, которым дурное преподавание помешало понять математику и даже привило неприязнь к ней (как указывает Пуанкаре, «зачастую ум людей, нуждающийся в руководящей нити, слишком ленив для поисков её» [2, с. 354]). Виноваты математики, не желающие тратить усилий на разъяснение математики непосвящённым (а сколько людей удивляется, что в математике ещё осталось что открывать!). Конечно, в математике всегда останутся многочисленные детали, недоступные непрофессионалу (и даже профессионалу, но в другой области математики). Но ведь так обстоит дело всюду, в шахматах, например. Многие ходы Карпова и Каспарова в их сражениях друг с другом были непонятны даже гроссмейстерам. В то же время гораздо больше из математики, чем принято думать, могло бы быть объяснено широким кругам доброжелательных слушателей и читателей – не в деталях, конечно, а на уровне общей сути. Разумеется, это требует от математиков целенаправленной деятельности в новом для них направлении. Возможно, что в этом и состоит их нравственный долг перед человечеством.

«Но, чтобы помочь непонимающим, мы должны сначала хорошо узнать то, что их останавливает» [2, с. 354]. Во многих случаях, по-видимому, препятствием является сложное логическое строение математических определений и утверждений – строение, в котором логические связки и кванторы существования и общности чередуются друг с другом. Всякий преподававший математический анализ знает трудности, возникающие на пути параллельного усвоения понятия предельной точки последовательности, определение которой имеет структуру ∀ ε ∀ k ∃ n (А ∧ В), и понятия предела последовательности, определение которого имеет структуру ∀ ε ∃ k ∀ n (А ⇒ В). Однако что препятствует пониманию: сложность смысла или проблемы словесного выражения? Автор не знает ответа на этот вопрос, который связан с ещё более глубоким вопросом: можно ли отделить математику от словесных формулировок? Иначе говоря, пребывает ли математика исключительно в математических текстах или же математика имеет некоторую отличную от текстов сущность, а тексты служат лишь тем или иным (и потому, может быть, не всегда удачным) способом выражения этой сущности? По-видимому, этот вопрос, который мы назвали более «глубоким», применим не только к математике, но и к любой другой науке. Математика же выделяется среди других наук тем, что она есть, по формулировке Энгельса из «Диалектики природы», «абстрактная наука, занимающаяся умственными построениями, хотя бы и являющимися отражениями реальности»[169] [1, с. 529].