28. Cantor G. Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Nr. 6 // Mathematische Annalen. 1884. Bd. 23. H. 4. S. 453–488. (Русский перевод см. в работе [30, с. 106–139].)

29. Cantor G. Gesammelte Abhandlungen. Berlin: Springer, 1932. 486 S.

30. Кантор Г. Труды по теории множеств / Пер. с нем. Ф. А. Медведева, П. С. Юшкевича; Отв. редакторы А. Н. Колмогоров, А. П. Юшкевич. – М.: Наука, 1985. – 430 с.

31. Cox D. A. Introduction to Fermat's Last Theorem // American Mathematical Monthly. 1994. Jan. Pp. 3–14.

32. Сингх С. Великая теорема Ферма / Пер. с англ. – М.: МЦНМО, 2000. – 288 с. (Оригинальное издание: Singh S. Fermat's Last Theorem. L.: Fourth Estate, 1997.)

33. Thomas R. An update on the Four-Color Theorem // Notices of the American Mathematical Society. 1998. Vol. 45. № 7. Pp. 848–859.

34. Самохин А. В. Проблема четырёх красок: неоконченная история доказательства // Соросовский образовательный журнал. 2000. Т. 6. № 7 (56). С. 91–96.

Приложение Проблема континуума и языки второго порядка

Приложение

Проблема континуума и языки второго порядка

На языке второго порядка можно написать такую систему аксиом, что наличие или отсутствие у неё модели будет равносильно соответственно подтверждению или опровержению континуум-гипотезы. А если соединить все эти аксиомы знаком конъюнкции, то возникнет формула второго порядка, которая тогда и только тогда имеет модель, когда континуум-гипотеза справедлива; такая формула и была обещана в главе 4, в конце четвёртого размышления. Указанную систему аксиом мы и намерены выписать в настоящем приложении.

Пусть множество M обладает следующими свойствами: 1) его мощность континуальна; 2) в нём выделено некоторое такое подмножество Q счётно-бесконечной мощности, что всякое подмножество множества, содержащее, в свою очередь, Q в качестве подмножества, имеет мощность либо счётно-бесконечную, либо континуальную. Легко проверить, что возможность такого множества равносильна подтверждению континуум-гипотезы. Поэтому всякое такое M временно условимся называть подтверждающим. Наша цель – выписать систему аксиом, задающую подтверждающее множество. Для этого мы воспользуемся следующей теоремой из теории упорядоченных множеств: всякое линейно упорядоченное множество, обладающее плотным в нём счётно-бесконечным подмножеством и такое, что любое его сечение дедекиндово, имеет мощность континуума. (Напомним, что сечением линейно упорядоченного множества называется такое его разбиение на два класса, нижний и верхний, что любой элемент нижнего класса предшествует любому элементу верхнего класса. Сечение называется дедекиндовым, если либо в нижнем классе есть наибольший элемент, либо в верхнем классе есть наименьший элемент, но не то и другое вместе.) Система аксиом, которую мы собираемся выписать, как раз и задаст нам в качестве подтверждающего такое линейно упорядоченное множество, причём в роли Q выступит подмножество, плотное в M. (Подмножество A упорядоченного множества B называется плотным в B, коль скоро для любых двух различных элементов из B найдётся элемент из A, расположенный между ними.)