По-видимому, всё же математические понятия, как и всякие разумные понятия, существуют в виде представлений, не обязательно связанных с текстами. Определяющие же эти понятия словесные тексты следует признать важным, но не единственным средством их усвоения.

Думается, сегодня мы располагаем более совершенными инструментами внедрения в сознание обучающегося понятий предела и предельной точки последовательности (обучающегося, не имеющего специальных «математических способностей», которые – при современном понимании этого взятого в кавычки словосочетания – предполагают умение свободно воспринимать именно словесные формулировки). Представим себе экран, на котором отображается траектория движения точки, неограниченно приближающейся к некоторой неподвижной точке, которая и есть предел. Этот сюжет многократно повторяется с изменением как положения предела (чтобы не создавалось ложного впечатления, будто у всех последовательностей один и тот же предел), так и способа приближения движущейся точки к пределу (чтобы не создавалось, в частности, ложного впечатления, что расстояние между движущейся точкой и её пределом изменяется монотонно). Можно представить и аналогичную наглядную иллюстрацию понятия предельной точки, когда траектория хотя и неограниченно приближается временами к этой точке, но вместе с тем опять-таки временами отдаляется от неё на большое расстояние. Кажется правдоподобным, что у любого наблюдающего такие картинки возникнет правильное представление и о пределе, и о предельной точке.

Можно быть уверенным, что с внедрением компьютеров преподавание пойдёт по пути визуализации понятий, традиционно считавшихся совершенно абстрактными. (Колмогоров, кстати, неоднократно высказывал мысль, что следует изучать те наброски, которые делает на бумаге математик, занимаясь самыми абстрактными построениями. Изучать надо даже те движения пальцами, которые математик в это время производит. Колмогоров полагал, что это может быть полезным и для математики, и для психологии.)

Если бы излагаемая тема имела только педагогическое значение, мы бы не останавливались на ней так подробно в сочинении философского характера. Однако тема выходит за рамки педагогики, смыкаясь с вопросом об онтологической природе математических сущностей. Вопрос же этот, как и всякий разумный теоретический вопрос, имеет прикладное значение – в данном случае в порядке обратной связи педагогическое. В самом деле, если математическое понятие имеет сущность, отдельную от воплощения в словесном определении или формуле, то можно надеяться на лучшее понимание этой сущности путём демонстрации различных её проявлений (а не только формулировки).