Именно Кэли в 1854 г. было предложено называть «группой» всякую систему элементов, для каждых двух из которых определён третий элемент, называемый их «произведением», если только это произведение удовлетворяет известным перечисленным им условиям, например условию (АВ)С = А(ВС). Приведём два примера групп. Группой будет совокупность тех вращений куба вокруг его центра, которые совмещают его с самим собой[180]. Число различных таких вращений равно 24. Группой же будет совокупность всевозможных перестановок четырёх символов. Число таких перестановок тоже равно 24. Больше того, внутренняя структура этих двух групп, на первый взгляд не имеющих между собой ничего общего, совершенно тождественна. С точки зрения абстрактной теории это одна и та же группа. Именно в возможности абстрактную теорию применять в самых различных случаях, придавая основным её терминам то или иное конкретное значение, и заключается одно из основных преимуществ новой точки зрения.

Отчётливое понимание абстрактной природы геометрии мы встречаем впервые в 1871 г. у Клейна, который показал, что каждая из трёх разработанных к тому времени систем геометрии допускает много различных применений. Так, например, сферы и окружности, ортогональные к одной данной сфере в евклидовом пространстве, обладают всеми свойствами плоскостей и прямых геометрии Лобачевского. Поэтому из каждой теоремы геометрии Лобачевского мы можем одним изменением терминов получать теорему о сферах и окружностях евклидова пространства.

Абстрактное изложение теории чисел было дано Пеано, для чего ему понадобились только три аксиомы. Но целые числа сохраняют и в современной математике особое положение. В самом деле, математика изучает системы предметов, отвлекаясь от природы каждого из них. Но сама система, если она конечна, состоит из определённого числа предметов. Так, абстрактные группы классифицируются по их «порядку», числу элементов. Здесь число фигурирует не как нечто удовлетворяющее аксиомам Пеано, а как понятие с вполне определённым содержанием.

Отстаивая такое особое положение в математике целого числа, Пуанкаре, безусловно, высказывал мнение большинства математиков.

Зато теорию действительных чисел (дробных и иррациональных) современная математика склонна рассматривать как абстрактную теорию, так как конкретное их осуществление достаточно разнообразно[181]. Система аксиом, определяющая действительное число, дана в одном из приложений к «Основаниям» Гильберта.

Для того чтобы абстрактная теория имела смысл, необходимо существование хотя бы одной системы предметов и отношений, удовлетворяющей выставленным аксиомам [8]. Когда дело идёт о системах из конечного числа элементов, вопрос решается крайне просто, так как такая система может быть непосредственно материально осуществлена. Так и поступают в теории конечных групп: группу задают таблицей её элементов и их произведений.