Именно такого рода грубо реалистические аналогии заставляют многих считать аксиому Цермело совершенно очевидной. Но она пришла в безнадёжное столкновение с тем представлением, что математическое существование должно быть поддержано соответствующей конструкцией [14]. Обнаружилось, что действительное определение множества, существование которого постулируется в аксиоме Цермело, часто является делом совершенно безнадёжным. К тому же те объекты, существование которых доказывается при помощи этой аксиомы, оказались не только ненужными, но иногда и разрушающими простоту и стройность важных математических теорий [15]. Так, например, без аксиомы Цермело мы умеем строить только «измеримые» точечные множества, т. е. такие, которым можно приписать определённое число – их меру, – вполне аналогическое длине отрезка; есть все основания думать, что другого рода множества вообще нельзя построить [16]; между тем из аксиомы Цермело следует «существование» неизмеримых множеств [17].

IV

Таким образом, мы видим, что постулируемое при аксиоматическом изложении той или иной математической теории «существование» соответствующих предметов не находит достаточной опоры в тех конструкциях, которые нам известны. Наиболее естественным выходом из положения является, отбросив аксиоматический путь, изучить своеобразную природу тех объектов, которые мы можем конструировать, и вывести отсюда, какие свойства можно им приписывать и по каким законам рассуждать о них. Это и делает Броуэр.

В основу своих построений Броуэр кладёт последовательность, закономерность определённых предметов, например натуральных чисел. Они заданы законом образования каждого следующего из предыдущего. Каждое из них обозначается определённой комбинацией известных символов в конечном числе, например по обычной десятичной системе. После этого Броуэр считает натуральные числа вполне хорошо определёнными.

Но известно в силу известной теоремы Кантора, что для действительных чисел нельзя дать регулярного метода обозначения каждого из них при помощи конечных комбинаций заранее определённого запаса символов. Это вызывается тем, что континуум действительных чисел неперечислим [18], т. е. не может быть занумерован натуральными числами так, чтобы каждому его элементу соответствовал свой собственный номер. Броуэр и делает основным предметом своего изучения способы задания элементов континуума. При этом он рассматривает континуум в форме совокупности последовательностей натуральных чисел; другие представления континуума могут быть сведены к этому, и их рассмотрение привело бы к тем же результатам.