III

Предыдущие краткие указания были направлены главным образом к тому, чтобы сделать ясным, насколько теоретико-множественная точка зрения глубоко проникла во всю современную математику. Общая теория множеств с её специальными проблемами, правда, остаётся несколько изолированной, но её методы получают всё большее преобладание в изложении классических отраслей математики и постепенно проникают в элементарные учебники.

Мы могли различить в этой концепции математики две стороны: с одной стороны, имеются теории, постулирующие существование бесконечных систем объектов, удовлетворяющих известным аксиомам, и формально извлекающие из этих аксиом свойства изучаемой системы; с другой стороны, признаётся необходимой ещё конструкция соответствующих объектов исходя из натурального ряда или ещё какого-либо запаса элементарных объектов. Последние годы показали, что устойчивого равновесия между этими двумя сторонами достигнуто не было. С известным приближением можно формулировать выдвинутые в новейшее время точки зрения так: Гильберт предлагает сохранить только первую, формальную, часть математики, освободив нас от необходимости конструкции посредством своей теории непротиворечивости; Броуэр, напротив, ценит по преимуществу конструктивную часть, но думает, что конструкция не в состоянии дать нам то законченное существование бесконечных совокупностей, которое требуется для свободного применения ставших обычными в математике способов рассуждений, и поэтому требует коренного пересмотра приёмов математического доказательства.

Появление этих крайних точек зрения объясняется тем, что соединение обеих сторон теоретико-множественной математики привело к большим затруднениям и даже противоречиям. Общим источником этих затруднений является следующее. Математики привыкли обращаться с числами, функциями, множествами так, как будто бы это были вещи реального мира, во всём подобные материальным.

Уже самоё предпочтение термина «вещь» (Ding) термину «предмет» (Gegenstand) [10] достаточно характерно в этом отношении; а именно о системе «вещей» говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», так же как и большинство математиков. Между тем такой взгляд в общей теории множеств приводит к противоречиям.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим известный парадокс Ресселя. Предположим при этом, что все логические классы существуют наподобие столбов, к которым протянуты проволоки от всех входящих в них вещей… Если сам класс является элементом самого себя, то наш должен выступать в двойной роли: элемента класса и столба, этот класс отображающего. Исходящая от него как от элемента проволока должна возвращаться к нему же как к столбу, отображающему весь класс элементов. Выделим теперь все те столбы, к которым каждая проволока прикреплена только одним концом, это те классы, которые не содержат сами себя в качестве элемента. Среди них, например, не будет класса всех классов. Выделенные столбы образуют вполне определённый класс вещей. Следовательно, должен уже существовать столб, к которому сходятся проволоки от всех выделенных столбов. Когда мы спросим себя, принадлежит ли последний столб к числу выделенных, мы и получим без труда противоречие. Если он принадлежит к их числу, то от него должна исходить проволока, возвращающаяся к нему же, что невозможно, ибо слова «принадлежит к их числу» означают, что он сам есть один из таких столбов, к которым каждая проволока прикреплена только одним концом; если же он не принадлежит к их числу, то такой проволоки не должно быть, что опять приводит к противоречию, ибо в таком случае, не имея проволоки, прикреплённой к нему двумя концами, он сам должен принадлежать к числу выделенных нами столбов.