Разобьём множество иделей на классы, относя два иделя к одному классу, если их частное принадлежит группе J_k^*. Тогда факторгруппа J_k/J_k^* называется группой классов, а соответствующее поле K — полем классов. Самый важный пример получается, если взять за J_k^* группу всех единичных иделей ?, значения ?_p которых являются p-адическими единицами во всех простых точках p ¹². В этом случае соответствующие классы совпадают с обычными классами идеалов: два идеала принадлежат одному классу, если их частное является главным идеалом (?), где число ? положительно для всех вещественных бесконечных простых точек. Соответствующее поле классов K, так называемое абсолютное поле классов, имеет относительный дискриминант, равный единице, и представляет собой максимальное неразветвлённое абелево поле над k (теорема II). Его степень n над k равна числу классов идеалов, а группа Галуа изоморфна группе классов идеалов поля k (теорема IV). Если f — наименьшая степень, после возведения в которую идеал p попадает в подгруппу главных идеалов, то p разлагается в произведение n/f различных простых идеалов в K, каждый из которых имеет относительную степень f . Последнее утверждение есть не что иное, как повторение норменного определения поля классов. Таким образом, разложение идеала p в поле K зависит только от того класса, к которому принадлежит p. Замена идеалов на идели даёт самый простой подход к обобщению этой теоремы с неразветвлённого случая, которым в основном занимался Гильберт, на разветвлённый случай, изученный Такаги. Гильберт высказал, кроме того, утверждение, что каждый идеал поля k становится главным в абсолютном поле классов. Мы умеем сегодня доказывать это утверждение, однако с помощью ещё не понятых до конца рассуждений, выходящих за рамки абелевых полей.