Теперь мы видим, как нужно выбирать r: если мы последовательно просматриваем конечные формулы A(b₁), ..., A(b_h) и обнаруживаем, что одна из них, скажем A(b₃), истинна, то мы принимаем b₃. Если же все они ложны, то мы берём r наугад. Таким образом, все приведённые формулы (11) «истинны» и наше предположение о том, что дедукция ведет к ложной формуле 0?0, приводит к противоречию. Основным здесь является то, что в конкретной дедукции встречается только конечное число явно указанных составляющих b₁, ..., b_h. Если мы ошибочно выберем, например, Алкивиада вместо Аристида как представителя неподкупности, то наша ошибка не будет иметь последствий, если только те немногие из людей (из бесконечной толпы афинян), с которыми мы имеем дело, все являются подкупными.

Немного более сложным, будет случай, когда мы разрешим, чтобы формулы b₁, ..., b_h содержали ?_x , считая, однако, что за ним всегда следует одна и та же формула A. В этом случае мы сначала сделаем пробную редукцию, заменив ?_xA, скажем, числом&nsbp;0. После этого формулы b₁, ..., b_h заменятся редуцированными конечными формулами b₁⁰, ..., b_h⁰, а формулы (10) — формулами

A(b₁⁰) A(0), ..., A(b_h⁰) A(0).

Такая редукция вполне пригодна, если только A(0) не будет ложна и в то же время одна из формул A(b₁⁰), ..., A(b_h⁰), скажем A(b₃⁰), истинна. Но тогда мы сможем взять b₃⁰ как вполне законного представителя формулы A, и со второй редукцией, заменяющей ?_xA на b₃⁰, снова всё будет в порядке.

Однако это только самые первые трудности, которые нас ожидают. Кванторы ?_x , ?_y , ... с различными переменными, применённые к различным формулам, встанут перед нами, нагромождаясь друг на друга. Мы сделаем пробную редукцию, которая в некоторых местах может и не пройти; эта неудача научит нас, как её исправить. Однако исправленная редукция может не пройти в других местах. Создается впечатление, что мы находимся в замкнутом круге, и возникает вопрос, каким образом надо делать последовательные редукции, чтобы быть уверенным, что окончательная редукция будет хорошей во всех местах нашей последовательности формул. Ничто так не способствовало прояснению замкнутого характера обычных трансфинитных рассуждений в математике, как эти попытки убедиться в непротиворечивости, несмотря на все порочные круги.