ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Между двумя периодами, в течение которых усилия Гильберта были направлены на основания, сперва геометрии, а затем всей математики в целом, лежат двадцать долгих лет, посвящённых анализу и физике.

Зимой 1900–1901 года шведский математик Э. Хольмгрен докладывал на семинаре Гильберта о первых работах Фредгольма по интегральным уравнениям, и, по-видимому, Гильберт зажёгся ими сразу же. Этот предмет имеет долгую и извилистую историю и своим возникновением он обязан Даниилу Бернулли. В течение двух столетий усилия математиков были направлены к решению (механической, акустической, оптической, электромагнитной) проблемы колебаний среды и связанной с ней краевой задачи теории потенциала. Работа Фурье Theorie analylique de la chaleur (1822) стала вехой на этом пути. Г. А. Шварц с помощью построения основной частоты мембраны впервые доказал (1885) существование собственных колебаний для двумерного случая и более высоких размерностей. Последнее десятилетие XIX века пришлось на создание Пуанкаре его мощных теоретико-функциональных методов; вместе с К. Нейманом они вступили в схватку с гармонической краевой задачей; Вольтерра изучал тот тип уравнений, который теперь носит его имя, а Хельге фон Кох изобрёл бесконечные определители для линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных. Большинство научных открытий делается «в своё время»; иногда, но реже какой-нибудь гений приоткрывает завесу над будущим на десятки лет раньше, чем этого можно было ожидать. Открытие же Фредгольма, как мне всегда казалось, пришло с некоторым опозданием для того времени. Что может быть естественнее идеи превращения системы линейных уравнений, описывающей дискретную систему масс, в интегральные уравнения при переходе к предельному случаю сплошной среды? Однако тот факт, что в более простых ситуациях в непрерывном предельном случае возникают дифференциальные, а не интегральные уравнения, на целых два столетия приковал внимание математиков к дифференциальным уравнениям!

Тем не менее надо отметить, что простота результатов Фредгольма обязана специальному виду его уравнения, на который трудно было бы напасть, если бы он не руководствовался проблемами математической физики, к которым он его применил:

1

x(s) –

?

K(s, t) x(t) dt = f (s) (0 ? s ? 1).