(2)

Доказательство полноты неприводимых представлений компактной непрерывной группы. Оно является необходимым средством для подхода к общей теории инвариантов на основе метода усреднения Гурвица, а уточнение и обобщение этого метода играет важную роль в современных теоретико-групповых исследованиях, включая разработанную Г. Бором теорию почти периодических функций ²⁹. Таким образом, здесь мы снова встречаемся со старым другом Гильберта — теорией инвариантов.

(3)

Совсем недавно гильбертов метод параметрикса помог установить центральную теорему существования в разработанной У. В. Д. Ходжем теории гармонических интегралов на компактных римановых пространствах ³⁰.

Рассказ получился бы достаточно драматичным, даже если бы мы остановились на этом месте. Однако спустя некоторое время произошло удивительное событие: спектральная теория в гильбертовом пространстве оказалась подходящим математическим аппаратом для новой квантовой физики, начало которой было положено Гейзенбергом и Шрёдингером в 1925 году. Это последнее развитие привело к пересмотру всего предмета в целом при помощи более тонких средств (Дж. фон Нейман, А. Винтнер, М. Г. Стоун, К. Фридрихс). Так как Дж. фон Нейман был сотрудником Гильберта в период окончания той эпохи, когда его интересы делились между квантовой физикой и основаниями, историческая связь с собственными достижениями Гильберта не прекращается даже в этой последней фазе развития. Обзор того, что стало с теорией абстрактных пространств и линейных операторов в наше время, лежит вне рамок настоящей статьи.

Картина «аналитического периода» Гильберта будет неполной, если мы не упомянем второй мотив, вариационное исчисление, который пересёкся с его доминирующим интересом — интегральными уравнениями. «Теорема о независимости», которой он окончил свой парижский обзор математических проблем (1900), внесла важный вклад в формальный аппарат этого исчисления. Но гораздо более важную роль сыграл его смелый и решительный подход к проблемам функциональных максимумов и минимумов. Весь хорошо отработанный аппарат вариационного исчисления здесь был сознательно отброшен в сторону. Вместо него он предложил строить минимизирующую функцию как предел последовательности функций, для которых значение рассматриваемого интеграла стремится к своему минимуму. Классический пример даёт интеграл Дирихле в двумерной области

D [u] =

? ?

{(

?u?x

)

²

+

(