u = K?, u(s) =

?

K(s, t) ?(t) dt

сводится к интегральному уравнению ? + L? = f относительно функции плотности ? с ядром L(s, t) = ?_s^*K(s, t), достаточно регулярным при s = t, чтобы к нему была применима теория Фредгольма. Здесь важно отбросить предположение, что функция K удовлетворяет уравнению ?^*K = 0, так как в общем случае неизвестно фундаментальное решение для данного дифференциального оператора ?^*. Чтобы не заботиться о граничных условиях, Гильберт предполагает, что область интегрирования представляет собой компактное многообразие типа сферической поверхности. В зтом случае он показывает, что его метод применим, если параметрикс не только имеет регулярную особенность, но и является симметричным относительно аргумента и параметра.