Быть может, самым великим достижением Гильберта в области интегральных уравнений является его обобщение теории спектрального разложения с вполне непрерывных на так называемые ограниченные квадратичные формы. Он находит, что в этом случае спектр будет содержать точки накопления и, кроме того, будет присутствовать и непрерывная часть. И снова Гильберт использует непосредственный переход к пределу, увеличивая число переменных ad infinitum ²⁷. И как прежде, вскоре после этого были найдены простые доказательства его результатов.

Расширяя таким образом границы этой общей теории, он не упускает из виду обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, которые дали ей начало. Одновременно с молодым итальянским математиком Эудженио Элиа Леви он развил метод параметрикса, перебрасывающий мост между дифференциальными и интегральными уравнениями. Для заданного эллиптического дифференциального оператора второго порядка ?^* параметрикс K(s, t) представляет собой нечто вроде качественного приближения к функции Грина, как и последняя, завися от значений аргумента s и параметра t. Предполагается, что он обладает регулярной особенностью при s = t, так что неоднородное уравнение ?^* = f для