?u?y

)

²

}

dx dy.

G

Допустимыми здесь являются все функции u с непрерывными производными, удовлетворяющие заданным граничным условиям. Пусть d — нижняя грань значений D[u] для допустимых u; тогда можно найти последовательность допустимых функций u_n такую, что D[u_n] d при n ?. Нельзя ожидать, что сама последовательность u_n будет сходиться, однако можно попытаться её изменить с помощью подходящего процесса интегрального сглаживания, чтобы она начала сходиться. Так как предельная функция должна быть гармонической, а значение таких функций для любой точки P совпадает со средним значением её на любой окружности K с центром в P, то естественнее всего заменить u_n(P) на её среднее значение в K. При этом мы надеемся, что это среднее значение будет стремиться к числу u(P), которое не зависит от выбранной окружности, а его зависимость от точки P даст решение проблемы минимума. Кроме интегрирования Гильберт использует до перехода к пределу некоторый процесс выделения подходящей подпоследовательности из u_n. Благодаря простому неравенству