m

0

который представляет на самом деле непрерывную функцию ?(s) с n-м коэффициентом Фурье

?

?

K_mn x_m = x_n.

m

И таким образом он получает собственную функцию для K(s, t) с собственным значением ?. Вскоре после этого под влиянием идей Гильберта Э. Фишер и Ф. Рисс доказали свою хорошо известную теорему о том, что пространство всех функций x(s) с интегрируемым по Лебегу квадратом удовлетворяет всем свойствам полноты гильбертова пространства и, тем самым, с помощью полной ортонормированной системы u_n(s) эти пространства изоморфно отображаются друг на друга. Я упоминаю эти подробности ввиду того, что историческая последовательность событий может быть забыта многими из более молодых математиков, для которых гильбертово пространство представляет то абстрактное понятие, которое не различает эти свои две реализации — пространство интегрируемых с квадратом функций x(s) и пространство последовательностей с суммируемым квадратом (x₁, x₂, ...). Я думаю, что Гильберт вполне разумно придерживался рамок непрерывных функций там, где не было настоящей потребности вводить общие понятия Лебега.