Сказанного вполне достаточно, чтобы стало ясным, что на территории анализа была открыта золотая жила, которая сравнительно легко поддавалась разработке и которая не скоро должна была истощиться. Линейные уравнения с бесконечным числом неизвестных явились предметом дальнейших исследований (Э. Шмидт, Ф. Рисс, О. Тёплиц, Э. Хеллингер и другие); непрерывный спектр и его появление в интегральных уравнениях с «особыми» ядрами требовали более тщательного анализа (Э. Хеллингер, Т. Карлеман); на обыкновенные дифференциальные уравнения второго и более высокого порядка с регулярными и особыми граничными условиями также обратили должное внимание (А. Кнезер, Э. Хильб, Дж. Д. Биркгоф, М. Бохер, Я. Д. Тамаркин и многие другие) ²⁸. Стало возможным установить асимптотические законы распределения собственных значений, что было важно для вопросов термодииамики излучения (Г. Вейль, Р. Курант). Разложения по ортогональным функциям изучались независимо от их применений к дифференциальным и интегральным уравнениям. По-новому были освещены непрерывные дроби Стилтьеса и проблема моментов. Самые настойчивые приступили к атаке на нелинейные интегральные уравнения. Вокруг Гильберта организовалась большая международная школа математиков, а интегральные уравнения вошли в моду не только в Германии, но и во Франции, где им уделяли внимание такие великие мастера, как Э. Пикар и Гурса, в Италии и по другую сторону Атлантического океана. Было написано много как хороших, так и посредственных работ. Общим результатом всей этой деятельности стало значительное изменение во взглядах на анализ.

Замечательны приложения интегральных уравнений вне тех областей, для которых они были изобретены. Среди них я упомяну следующие три: (1)

Проблема Римана определения n аналитических функций f ₁(z), ..., f _n(z), регулярных всюду, за исключением некоторого конечного множества точек, и изменяющихся при аналитическом продолжении вокруг этих точек согласно заданным линейным преобразованиям. Эта проблема была решена самим Гильбертом, а затем более простое и полное решение было дано Племелем. (Очень специальный случай этой проблемы даёт существование алгебраических функций на римановой поверхности, заданной в виде накрытия комплексной z-плоскости.) В этом же направлении лежали и исследования Дж. Д. Биркгофа о матрицах из аналитических функций.