Пример 23. Доказать, что при всех n справедливо равенство

Вы легко убедитесь в этом, воспользовавшись описанным методом.

Вы легко убедитесь в этом, воспользовавшись описанным методом.

Изложенный метод рассуждения требует установления двух фактов: (1) интересующее нас утверждение верно для единицы; (2) если интересующее нас утверждение верно для какого-то числа k, то оно верно и для следующего за ним числа k + 1. Если оба факта установлены, тогда, переходя от 1 к 2, от 2 к 3 и т. д., убеждаемся, как в только что приведённом примере, что рассматриваемое утверждение верно для всех натуральных чисел.

Первый факт называется базисом индукции, второй – индукционным переходом, или шагом индукции. Индукционный переход включает в себя посылку, или предположение индукции, или индукционное предположение и заключение. Смысл посылки: рассматриваемое утверждение верно при n = k. Смысл заключения: рассматриваемое утверждение верно при n = k + 1. Сам же индукционный переход состоит в переходе от посылки к заключению, т. е. в заявлении, что заключение верно, коль скоро верна посылка. Весь в целом логический приём, позволяющий заключить, что рассматриваемое утверждение верно для всех натуральных чисел, коль скоро справедливы и базис, и переход, называется так: принцип математической индукции. Использование этого принципа и составляет метод математической индукции.