Пример 24. Доказать, что верно неравенство (1 + α)ⁿ ≥ 1 + nα, где α ≥ –1.

Базис индукции выполнен, поскольку при n = 1 левая и правая части одинаковы. Шаг индукции начинаем с предположения, что утверждение верно при n = k; таким образом, посылка шага индукции есть (1 + α)^k ≥ 1 + kα. Умножая это неравенство на неотрицательное число 1 + α, получаем (1 + α)^k+1 ≥ (1 + kα) (1 + α). Последнее неравенство переписываем так: (1 + α)^k+1 ≥ 1 + (k +1)α + kα². Отбрасывая в правой части неотрицательный член kα², получаем: (1 + α)^k+1 ≥ 1 + (k + 1)α. А это и есть заключение шага индукции. Итак, мы проверили и базис, и шаг. Доказательство методом индукции завершено.

Иногда приходится доказывать утверждение не для всех натуральных чисел, а для всех, начиная с некоторого числа; как поступать в таких случаях, показано в примере 25.

Пример 25. Доказать, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 2(n – 2) d, где d – прямой угол. Ясно, что утверждение, которое нужно доказать, имеет смысл лишь при n ≥ 3. Чтобы иметь право применить метод индукции, надо косметически изменить формулировку: сумма углов выпуклого (n + 2)-угольника равна 2nd. Такая формулировка уже имеет смысл при всех натуральных n. Базис составляет здесь известная теорема о сумме углов треугольника: сумма углов (1 + 2)-угольника равна 2 · 1d. Чтобы вывести заключение индукционного перехода [сумма углов многоугольника с числом сторон (k + 1) + 2 равна 2(k + 1) d] из его посылки (сумма углов многоугольника с числом сторон k + 2 равна 2kd), поступаем так. В многоугольнике с числом сторон (k + 1) + 2 берём две вершины, соседствующие с одной и той же вершиной, и соединяем их диагональю. Эта диагональ разобьёт наш многоугольник на две части – на треугольник и на (k + 2)-угольник. Сумма углов исходного многоугольника получается сложением суммы углов треугольника, каковая сумма есть 2d, и суммы углов (k + 2)-угольника, каковая сумма (посылка перехода!) есть 2kd; складывая, получаем: 2 (k + 1) d, что и требовалось.

Пример 25. Доказать, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 2(n – 2) d, где d – прямой угол.