Утверждение A(1) истинно, поскольку оно есть базис индукции. Применяя к нему индукционный переход, получаем, что истинно и утверждение A(2). Применяя к A(2) индукционный переход, получаем, что истинно и утверждение A(3). Применяя к A(3) индукционный переход, получаем, что истинно и утверждение A(4). Таким образом мы можем дойти до каждого значения n и убедиться, что A(n) истинно. Следовательно, для всякого n имеет место A(n), а это и есть та универсальная формулировка, которую требовалось доказать.

Принцип математической индукции заключается, по существу, в разрешении не проводить «стандартное рассуждение» в каждой отдельной ситуации. Действительно, стандартное рассуждение только что было обосновано в общем виде, и нет нужды повторять его каждый раз применительно к тому или иному конкретному выражению A(n). Поэтому принцип математической индукции позволяет делать заключение об истинности универсальной формулировки, как только установлены истинность базиса индукции и индукционного перехода.

Чтобы у читателя не создалось впечатления, что принцип индукции используется только для доказательства равенств, докажем с помощью этого принципа важное неравенство.

Пример 24. Доказать, что верно неравенство (1 + α)n ≥ 1 + nα, где α ≥ –1. Базис индукции выполнен, поскольку при n = 1 левая и правая части одинаковы. Шаг индукции начинаем с предположения, что утверждение верно при n = k; таким образом, посылка шага индукции есть (1 + α)k ≥ 1 + kα. Умножая это неравенство на неотрицательное число 1 + α, получаем (1 + α)k+1 ≥ (1 + kα) (1 + α). Последнее неравенство переписываем так: (1 + α)k+1 ≥ 1 + (k +1)α + kα². Отбрасывая в правой части неотрицательный член kα², получаем: (1 + α)k+1 ≥ 1 + (k + 1)α. А это и есть заключение шага индукции. Итак, мы проверили и базис, и шаг. Доказательство методом индукции завершено.