Правда, при помощи того или иного закона развёртывания последовательности можно в этом текучем и подлинно непрерывном континууме выделить одну или несколько вполне определённых точек, но, по Броуэру, это уже вторичное явление. К тому же в силу неперечислимости [18] континуума мы никогда не исчерпаем его полностью.

Таким образом, Броуэр считает, что никакой совокупности предметов, удовлетворяющей обычным аксиомам, определяющим действительное число, нет. Естественно, что вместе с этим отпадает и возможность излагать геометрию в духе Гильбертовых «Оснований» как теорию «системы вещей», удовлетворяющих геометрическим аксиомам. Понятие множества как собрания предметов вообще почти исчезает в концепции Броуэра. Вместо этого даётся определение множества как закона построения его элементов. С этого определения начинается положительная работа интуиционистов над построением математики на новых основаниях. При этом, особенно Вейлем, подчёркивается, что вместо теоретического описания объективно данного на первый план выдвигается известная деятельность – конструктивное творчество.

Особенно много споров и недоразумений вызывает то, что Броуэр с этой перестройкой математики связывает и реформу логики, именно отрицание неограниченной применимости принципа исключённого третьего. Вопрос этот заслуживал бы более подробного освещения, но это заняло бы слишком много места. Здесь мы заметим только, что необходимость отказаться от принципа исключённого третьего тесно связывается интуиционистами с утратой математикой чисто теоретического характера. Принцип исключённого третьего по Броуэру неприменим лишь к суждениям особого рода, в которых теоретическое высказывание неразрывно связано с построением объекта высказывания. Поэтому можно предполагать, что идеи Броуэра вовсе не находятся на самом деле в противоречии с традиционной логикой, которая собственно никогда не имела дела с подобными суждениями.

V

Гильберт, давший в «Основаниях геометрии» известнейшее изложение теоретико-множественного взгляда на математику, выступает теперь в ряде статей с совершенно противоположными взглядами. Правда, их зародыши можно проследить и в некоторых местах «Оснований», и первое время вся глубина различия двух точек зрения не была замечена. Новый взгляд Гильберта заключается в том, что для оправдания построения геометрии или иной математической дисциплины нет никакой надобности доказывать существование соответствующей системы предметов конструктивным путем, достаточно доказать непротиворечивость аксиом.