Изгоняя из математики то, что считалось предметом её исследования, Гильберт приходит к выводу, что математическая теория является просто системой формул. Эти формулы не выражают никаких суждений, так как самые предметы, о которых они могли бы что-либо высказывать, упраздняются. Соответственно с этим математическое доказательство не есть больше доказательство в обычном смысле слова, это просто ряд операций над формулами, производимых по определённым вычислительным правилам, приводящих в конце к «доказываемой» формуле. «Непротиворечивость» математической теории, по Гильберту, тоже нельзя понимать в обычном смысле слова, это просто свойство принятых аксиом и вычислительных правил никогда не приводить к формулам специального вида, заранее объявленным ложными: например, 0=1.

Непротиворечивости в указанном смысле, как это ни странно, достаточно, чтобы оправдать законность практических применений математики. Именно, оказывается, что если в результате не имеющих никакого смысла формальных выкладок мы приходим к формуле, допускающей реальное истолкование, например к числовому равенству, то это реальное истолкование тем самым будет действительно доказано. Непротиворечивость же Гильберт обещает доказать для весьма широкого круга аксиом, включая в их число и разбиравшуюся выше аксиому Цермело [19].

Наиболее уязвимым пунктом Гильбертовой теории является то, что для доказательства непротиворечивости математических аксиом ему приходится построить новую дисциплину «метаматематику» [20], и есть опасения, что в «метаматематике» возродятся все трудности, изгнанные из математики.

Именно этот ряд идей Гильберта является естественным завершением логистики Пеано и Ресселя, которые, на словах оставаясь приверженцами теоретико-множественной точки зрения, в действительности работали над полной формализацией математики. Но для успеха этой формализации до последнего времени не хватало именно методов доказательства непротиворечивости, которые только и позволяют отказаться от всякого реального толкования формул.

Работы Гильберта по формализации математики и доказательству непротиворечивости ещё не закончены, что, естественно, затрудняет оценку действительной силы его методов [21].

VI

С теоретико-познавательской стороны точка зрения Гильберта сводится к строгому ограничению конечным; все математические предложения, в которые так или иначе входит бесконечность, объявляются лишёнными всякого смысла. Правда, с блестящим искусством Гильберт восстанавливает забракованные математические теории в виде формальной непротиворечивой игры символами. Всё же этот выход, не дающий никакого объяснения, чем же держалась математика до настоящего времени, почему, высказывая о бесконечности суждения, не имеющие никакого смысла, математики понимали друг друга, продиктован только неумением найти выход более удовлетворительный.