На рисунке ниже изображены все три типа поверхностей, точки которых равноудалены от начала координат. Красная, похожая на песочные часы, поверхность, соответствует положительным значениям . Две зеленых, чашеобразных поверхности описывают случай x² + y² — u² < 0. А пара расположенных между ними синих конусов служат решением уравнения x² + y² — u² = 0. (Поскольку все три поверхности полупрозрачны, конусы выглядят синими только в тех местах, где на них не накладываются другие поверхности.)

В математике красную поверхность принято называть однополостным гиперболоидом, а пару зеленых поверхностей – соответственно двуполостным гиперболоидом.

Описав новый способ измерения расстояний в нашей геометрии, можно задаться вопросом: что именно, с практической точки зрения, означает утверждение о равноудаленности точек каждой из этих поверхностей от начала координат. Говоря о вращении какого-либо предмета – раскручивании шара, взмахе палкой и вообще о повороте произвольного твердого тела – мы имеем в виду, что почти все точки затронутого предмета меняют свое положение, при том, что расстояния между этими точками остаются неизменными. Другими словами, объект при движении сохраняет жесткость – не сжимается и не растягивается.