| α — (p/q)|< ε

Воспользуемся для этого двумя изображающими аппаратами, именно систематическими (двоичными) дробями с одной стороны и цепными (непрерывными) дробями — с другой, и оценим потребные для хранения числа а количества информации при каждом из способов представления.

Случай систематических дробей хорошо известен. При разложении числа в двоичную дробь длины m, т. е. при использовании m значащих бит для мантиссы погрешность приближения числа α составит — (1/2)∙2^-m = 2-^m-1. Поэтому для достижения потребной точности ε мы должны иметь

2^-m-1 < ε => -m - 1 < log₂ ε => m > -log₂ ε - 1 = log₂(1/ε) - 1.

Таким образом для достижения точности ε мы должны затратить по меньшей мере

I₂(ε) = log₂ (1/ε) — 1 (1)

бит информации.

2. Разложим теперь наше число α в цепную дробь:

и возьмем в качестве представления числа α последовательность {а₁, а₂…., а_n}, обрезая цепную дробь на n-м члене, т. е. беря n-ю подходящую дробь (поскольку α € (0,1), то, очевидно, а₀ = 0).