Поэтому для приближения α с точностью ε достаточно соблюдения условия

1/q²_n < ε => q_n > 1/√ε

Остается получить оценку сверху для q_n, причем требуется оценить q_n величиной, связанной с I_c. Сделаем это.

Для знаменателей q_n подходящих дробей справедливо рекуррентное соотношение (см. [1], стр. 11, формула (7))

q_к = a_кq_к-1 + a_кq_к-2,

причем по определению полагается q_-1 = 0, q₀ = 1. Тогда q₁ = а₁, q₂ = a₂a₁ + 1, q₃ = a₃a₂a₁ + a₃ + a₁ и т. д.

Лемма. Для знаменателей q_n верна оценка q_n <= 2^n-1π_n, где π_n= Пⁿ _i=1= a_i.

Доказательство (методом мат. индукции). Для n = 1 утверждение верно, ибо q₁ = а₁. Предположим, что оценка верна для всех k и n. Тогда