и, значит
Поэтому,
Ic(ε) <= 1/2∙I2(ε) + 1/2 + log2 an
I
I
Если принять, что 1/q2n < ε, то оценка упрощается:
Ic(ε) <= 1/2∙I2(ε) + 1/2
I
I
Таким образом видим, что теоретическая нижняя граница для Ic(ε) — объема данных, потребных для хранения вещественного числа а, оценена нами как сверху (формулы (6) и (6’)), так и снизу (формула (4)). Поэтому в случае больших объемов информации (Ic(ε) —> оо) представление числа в виде цепной дроби требует примерно вдвое меньшего количества бит, т. е. достигаемое сжатие — порядка 50 %.
I
а
I
3. Оценку (6) можно несколько улучшить. Для этого достаточно вместо (3) использовать более точную оценку приближения произвольного числа а подходящими дробями. Именно, ([1]. стр. 30) имеют место неравенства:
3.
(7)
Поэтому если дробь pn/qn — первая из последовательности подходящих дробей, которая приближает число а с точностью ε, то, очевидно, имеют место неравенства:
p