поскольку выражение в круглых скобках не превосходит единицы ибо а_n >= 1, а_n+1 >= 1. Лемма доказана.

Опираясь теперь на лемму, заключаем, что для аппроксимации числа α с точностью ε должно быть:

1/√ε < q_n =< 2^n-1Пⁿ_i-1 a_i

Следовательно, используя (2), находим:

Таким образом, учитывая (1), получаем соотношение:

I_c(ε) >= (1/2)∙I₂(ε) - n + 3/2

Впрочем, данная оценка довольно груба. Ее можно немного усилить.

С другой стороны, очевидно, q_n >= Пⁿ _i=1 a_i (доказывается тоже индукцией), поэтому если

1/q²_n < ε < 1/q²_n-1

то

q_n-1 < 1/√ε < q_n

(5)