IV. Отображение норменного символа устанавливает изоморфизм факторгруппы J_k/Nm J_K на группу Галуа поля K/k.

Утверждения I, II, III_c (индекс c означает ограничение циклическими полями) и IV составляют основные предложения того, что можно назвать норменной теорией относительных абелевых полей. Они справедливы для каждого такого поля K/k.

Имеется другая часть этой теории, собственно теория полей классов, которая относится к вопросу о связи множества всевозможных относительных абелевых полей K над k со структурой группы J_k иделей поля k. Каждое такое поле K определяет, как мы видели выше, подгруппу конечного индекса Nm J_K группы J_k. Возникает вопрос: какие именно подгруппы J_k^* группы J_k получаются таким способом из абелевых полей K/k? Ясно, что необходимыми условиями являются следующие: