2)

Существует такое натуральное число n, что каждая n-я степень иделя принадлежит J_k^*.

3)

Существует такое конечное множество точек S, что ?IJ_k^*, если ? является единицей во всех точках и равно 1 для точек из S.

Основная теорема теории полей классов утверждает, что эти условия являются также и достаточными.

V. Для любой подгруппы J_k^* группы J_k, удовлетворяющей трём предыдущим условиям (и, в частности, конечного индекса), существует однозначно определённое абелево поле K/k такое, что J_k^* = Nm J_K.