Юноша проявил высокий талант и трудолюбие, танцевал сложнейшие партии. В 1971 году он был принят в Большой театр, в балетную труппу которого сразу же был зачислен солистом. В главном балетном коллективе СССР существовали, однако, враждующие группы, и начинающий артист оказался в центре группировок, обвинявших одна другую в смертных грехах. Он примкнул к оппозиции главному балетмейстеру театра — увенчанному славой и лаврами Юрию Николаевичу Григоровичу — действительно выдающемуся художнику, но человеку весьма властному и своенравному.

Александр Годунов продолжал выступать, но на сцену и тем более на гастроли, особенно зарубежные, его выпускали редко. В значительной мере это было связано с тем, что за границей он, по мнению партийного начальства и кураторов из КГБ, «неправильно себя вел»: носил вызывающую одежду, слишком длинные волосы и даже общался с российскими эмигрантами.

Воспользовавшись тем, что он был включен в балетную труппу, выступавшую в 1979 году в США, Александр Годунов в августе того года в Нью-Йорке обратился к американским властям с просьбой о предоставлении ему политического убежища, причем сделал это не только от своего имени, но и от имени своей жены — солистки балета Людмилы Власовой, которая была старше его на восемь лет. Тем не менее советским представителям удалось отправить Власову на родину (самолет, на котором она возвращалась, был задержан на три дня по требованию американской стороны, подозревавшей, что ее вывозят насильно).

Вся эта история превратилась в международный скандал, о котором сообщала пресса различных стран в соответствии со своими политическими установками. Произошел даже обмен письмами между генеральным секретарем ЦК КПСС Леонидом Брежневым и президентом США Джимми Картером. Позже Власова, возвратившаяся в Москву, утверждала, что она покинула США добровольно.

В любом случае история разрыва Александра Годунова с советскими властями обеспечила ему популярность в США с самого момента эмиграции. Он почти немедленно был принят в труппу Американского театра балета, в котором проработал три года и покинул его из-за творческих разногласий с руководителем театра Михаилом Барышниковым.

После этого балетмейстер организовал собственную труппу, названную им «Годунов и друзья», которая гастролировала не только в США, но и в других странах Америки и Западной Европы. В 1985 году он ушел из балета в частную жизнь, но изредка снимался в кино, ведь первые кинопробы им были сделаны еще в СССР. Он снялся, в частности, в 1978 году в сказочном телевизионном фильме «31 июня», который после премьеры лег «на полку» на много лет по причине эмиграции Годунова.