Графический образ этой порядковой структуры приведён на рис. 2.

В этой структуре у двух элементов (у 0 и 10) нет непосредственных предшественников. Запретим эту ситуацию следующей аксиомой 6.

6. Если у двух элементов х₁ и х₂ нет непосредственных предшественников, то они равны. В символах:

Аксиома 6 исключает структуру (**), но не исключает такой структуры:

Структура (***), очевидно, не изоморфна натуральному ряду. Её графический образ приведён на рис. 3.

Наша цель, подобно горизонту, отодвигается всё дальше и дальше… Оказывается, она вообще недостижима. Оказывается, имеет место следующий замечательный факт: сколько бы мы ни выписывали аксиом, использующих логические знаки, знак отношения «<» и переменные, пробегающие по элементам определяемой структуры, у совокупности выписанных аксиом всегда будет модель, не изоморфная натуральному ряду. Ввиду фундаментальной важности этого факта (означающего невозможность аксиоматического определения натурального ряда с использованием указанных средств) изложим его подробнее.

Будем записывать аксиомы на формализованном символическом языке, в алфавит которого входят следующие знаки:

1. Знаки препинания: левая скобка «(» и правая скобка «)»;

2. Логические знаки «¬», «∧», «∨», «⇒», «∀», «∃», «=»;

3. Индивидные переменные х, у, z, и, v, w, х₁, y₁, z₁, u₁, v₁, w₁, …;