∃ у (х < у); ∀ х ∃у (х < у).

Возьмём теперь какое-либо множество с каким-либо определённым на нём бинарным отношением (не обязательно отношением строгого порядка), обозначаемым через «<». Всякое такое множество с отношением «<» будем называть структурой сигнатуры <. Таким образом, структура сигнатуры < состоит из множества (называемого носителем структуры) и отношения «<». Назначим для каждой индивидной переменной носитель структуры в качестве области изменения этой переменной. Тогда каждая формула становится либо высказыванием, как вторая, третья и пятая формула из приведённого только что списка, либо высказывательной формой, как первая и четвёртая формулы. Формулы, превращающиеся в высказывания, называются закрытыми[153], только их мы и будем впредь рассматривать. Про (закрытую) формулу, становящуюся – при рассмотрении на данной структуре – истинным высказыванием, говорят, что она истинна на данной структуре или выполняется на данной структуре, а про структуру – что она удовлетворяет данной формуле.

Среди структур сигнатуры < выделена структура N – наш обычный Натуральный Ряд с обычным отношением порядка. Будем называть аксиомой любую закрытую формулу, превращающуюся в истинное высказывание при интерпретации на структуре N. Так вот, какое бы – конечное или бесконечное – количество аксиом мы ни выписывали, всегда найдётся такая структура сигнатуры <, которая, во-первых, удовлетворяет всем выписанным аксиомам и, во-вторых, не изоморфна N.

Получается, таким образом, что натуральный ряд нельзя определить аксиоматически: ведь определить N аксиоматически – это значит записать такую систему аксиом, которая определяла бы N с точностью до изоморфизма (это, в свою очередь, значит, что любые две структуры, удовлетворяющие всем выписанным аксиомам, изоморфны).

«Позвольте, – снова возразит читатель, – но аксиомы Пеано ведь определяют Натуральный Ряд как раз с точностью до изоморфизма. Система аксиом Пеано категорична, а это как раз и означает, что все её модели[154] изоморфны». Немножко терпения, разберёмся и с аксиомами Пеано.

А сейчас обсудим вот какой вопрос. На Натуральном Ряде определено не только отношение порядка «<», но и бесчисленное множество других отношений и операций. Среди них двуместное (или бинарное) отношение делимости двух чисел; трёхместное (или тернарное) отношение «х + у = z»; одноместное (или сингулярное, singulary[155]) отношение «быть простым числом» (напомним, что свойства мы трактуем как одноместные отношения); двуместная операция сложения; двуместная операция умножения; двуместная операция возведения в степень (причём 0⁰ = 1); одноместная операция непосредственного следования (мы будем, как это часто делается, обозначать её штрихом, так что, например, 0' = 1; 13' = 14); константы 0, 1, 2, 3, 4, … (напомним, что константы мы трактуем как нольместные операции); четырёхместная операция [log_u+2 z! + y^x·z+u] (здесь, как обычно, через [a] обозначается целая часть числа a); и многие другие. Мы привели лишь несколько примеров, а всего на N определено несчётное количество операций и отношений. Для того чтобы определить понятие структуры, изоморфной N, мы сперва должны из этого количества выделить некоторые (теоретически возможно – все) операции и отношения и рассмотреть изоморфизм относительно именно этих выделенных операций и отношений. На самом деле поэтому не существует понятия натурального ряда просто, а только понятие натурального ряда относительно данного списка операций и отношений. Выше мы рассматривали понятие натурального ряда относительно списка, в котором операций не было вовсе, а отношение одно – отношение «быть меньше».