Посмотрим теперь, как выглядит произвольная структура сигнатуры {0, ′, <}, подчиняющаяся аксиомам 1–8 (аксиомы 4 и 5 следуют из аксиом 7 и 8, но в этом нет большой беды). Она, очевидно, представляет собой линейно упорядоченное множество, в котором 0 есть наименьший элемент, 0′ – непосредственно следующий за 0 элемент (так что между 0 и 0′ ничего нет), 0′′ – непосредственно следующий за 0′ элемент и т. д. Все эти элементы 0, 0′, 0′′, 0′′′′, … образуют начальный отрезок нашей структуры. Этот начальный отрезок называется стандартной частью структуры, а оставшаяся часть (она может быть и пустой) – нестандартной. Стандартная часть изоморфна Натуральному Ряду N. Если бы оказалось, что в любой структуре сигнатуры {0, ′, <}, подчиняющейся аксиомам 1–8, нет ничего, кроме стандартной части, то наша цель была бы достигнута: аксиомы 1–8 давали бы в своей совокупности искомое аксиоматическое определение натурального ряда, точнее, натурального ряда сигнатуры {0, ′, <}.

Однако это не так, поскольку структура, графически изображённая на рис. 3, такая, скажем, как (***), где

удовлетворяет аксиомам 1–8, но не изоморфна N: в ней есть непустая нестандартная часть (на рис. 3 эта нестандартная часть изображена справа), в (***) эта нестандартная часть состоит из элементов вида  Более того, оказывается, что никакие аксиомы не могут задать натуральный ряд сигнатуры {0, ', <}, поскольку структура на рис. 3 всегда будет моделью для таких аксиом.

Может быть, дело всё ещё в бедности сигнатуры? Что будет, если добавить сложение и умножение и рассматривать натуральный ряд не сигнатуры {0, ', <}, а сигнатуры {0, ', <, +, ·}? Можно ли для такой более богатой сигнатуры составить список аксиом, определяющих понятие натурального ряда этой сигнатуры, т. е. выделить из всех структур этой сигнатуры те структуры, которые относительно 0, ', <, +, · изоморфны N? Оказывается, нет, нельзя. Какую бы совокупность аксиом[156] – конечную или бесконечную – мы ни образовали, всегда для этой совокупности будут существовать структуры (сигнатуры {0, ', <, +, ·}), не изоморфные N. Более того, какую бы мы ни взяли сигнатуру и какую бы ни взяли для этой сигнатуры систему аксиом, всегда будет существовать модель этой системы аксиом, не изоморфная Натуральному Ряду N. Такие неизоморфные N модели называют нестандартными, а аксиомы, перечисляющие свойства натурального ряда (особенно, когда в сигнатуру входят «+» и «·»), называют аксиомами арифметики. Поэтому сказанное можно выразить и так: для любой системы аксиом арифметики существует нестандартная модель.