Итак, область изменения переменной Р в аксиоме индукции – совокупность всех свойств, определённых на рассматриваемой структуре. Посмотрим, как эта аксиома используется для того, чтобы установить, что удовлетворяющая аксиомам Пеано структура изоморфна N. Пусть структура сигнатуры {0, '} удовлетворяет аксиомам I–III. Аксиомы I–II обеспечивают наличие в этой структуре стандартной части {0, 0', 0'', 0''', …}. Теперь применим аксиому индукции, взяв в качестве значения переменной Р такое свойство P₀ элементов структуры: «принадлежать к стандартной части». Аксиома гласит, что нечто справедливо для всякого Р, в частности для этого P₀. Таким образом:

[Р0(0) ∧ ∀ x (Р0(х) ⇒ Р0(х'))] ⇒ ∀ xР0(x).

[Р₀(0) ∧ ∀ x (Р₀(х) ⇒ Р₀(х'))] ⇒ ∀ xР₀(x).

Заключённая в квадратные скобки посылка, очевидно, истинна (0 принадлежит стандартной части, и если x принадлежит стандартной части, то принадлежит и x'); поэтому ∀ xР₀(x), т. е. все x (все элементы структуры!) принадлежат стандартной части. Стандартная часть, как уже было замечено, изоморфна N. Этим завершается доказательство того, что рассматриваемая структура изоморфна N.