Приглядимся к аксиоме индукции. Мы замечаем, что в ней наряду с обычной индивидной переменной встречается ещё переменная Р. Разъясним смысл этой переменной. Прежде всего напомним, что семантика формулы (т. е. придание этой формуле смысла) возникает лишь после того, как предъявляется математическая структура соответствующей сигнатуры. В частности, чтобы обрели смысл аксиомы Пеано (формулы I–III), надо предъявить какую-либо структуру сигнатуры {0, '}, т. е. множество с выделенным элементом, обозначенным через «0», и выделенной одноместной операцией, обозначенной через «'». Тогда сразу определяется область изменения переменной x (как и всякой индивидной переменной): это есть множество всех элементов рассматриваемой структуры. Какова же область изменения переменной Р?

Переменная Р – особая, не встречавшегося ещё в нашем изложении типа. Её область изменения состоит из всевозможных свойств (= одноместных отношений), определённых на рассматриваемой структуре, т. е. свойств элементов этой структуры.

Понятие свойства относится к первичным и постигается из примеров. На натуральных числах определено, например, свойство чётности: каждое число может быть либо чётным, либо нечётным. Здесь несущественно, что бывают как чётные, так и нечётные числа; нас устроила бы ситуация, когда все числа – чётные; важно, что для каждого числа осмыслен вопрос, чётное оно или нечётное. А вот свойство зелёности не определено на натуральном ряду; для числа «быть зелёным» бессмысленно. Выше мы сформулировали некоторые свойства, какими как целое обладает Натуральный Ряд. Свойствами могут обладать и отношения: так, среди отношений выделяются, например, транзитивные. Но в данный момент нас интересуют свойства элементов рассматриваемой структуры (для которой выполняются аксиомы Пеано). Именно эти свойства могут выступать в качестве значений переменной Р.

Тот факт, что элемент a обладает свойством Q, записывается как Q(a). Если на элементах какого-то множества М определено свойство Q, то можно ввести в рассмотрение подмножество K этого множества, состоящее из тех и только тех элементов М, которые обладают свойством Q:

(x ∈ K) ⇔ Q(x). (!)